Publié en 2025
Pythagore (VIᵉ siècle av. J.-C.) : a² = b² + c²
Al-Kashi (XVᵉ siècle) : a² = b² + c² - 2bc cos(α)
Le génie d'Al-Kashi ? Ajouter un terme qui capture l'interaction entre les côtés selon leur orientation.
Ce terme mystérieux exprime comment deux côtés interagissent selon leur angle :
| Angle α | cos(α) | Terme correctif | Signification |
|---|---|---|---|
| 0° | +1 | -2bc | Côtés alignés : ils se soustraient |
| 90° | 0 | 0 | Côtés perpendiculaires : pas d'interaction (Pythagore !) |
| 180° | -1 | +2bc | Côtés opposés : ils s'additionnent |
Interprétation géométrique : Le terme -2bc cos(α) représente la "projection" d'un côté sur l'autre, multiplié par 2 (pour les deux directions).
Interprétation vectorielle : C'est le produit scalaire des vecteurs représentant les côtés b et c, qui mesure leur "alignement".
Imaginez deux bâtons de longueurs b et c :
Si α = 0° : Les bâtons sont bout à bout, alignés
→ Distance entre extrémités = |b - c|
→ a² = (b - c)² = b² + c² - 2bc ✓
Si α = 90° : Les bâtons forment un angle droit
→ Distance = hypoténuse
→ a² = b² + c² ✓ (Pythagore)
Si α = 180° : Les bâtons sont opposés
→ Distance = b + c
→ a² = (b + c)² = b² + c² + 2bc ✓
Soit u⃗ et v⃗ les vecteurs représentant les côtés b et c.
Le côté opposé a est le vecteur u⃗ - v⃗
Sa longueur au carré est :
||u⃗ - v⃗||² = (u⃗ - v⃗) · (u⃗ - v⃗)
= u⃗·u⃗ - 2u⃗·v⃗ + v⃗·v⃗
= ||u⃗||² + ||v⃗||² - 2u⃗·v⃗
= b² + c² - 2bc cos(α)Donc : a² = b² + c² - 2bc cos(α)
Calculer la distance réelle entre deux points quand on connaît leurs coordonnées polaires (distance et angle depuis un point de référence).
Vérifier les diagonales d'une structure trapézoïdale, calculer la longueur d'une poutre oblique, dimensionner des charpentes à angles variables.
Calculer la résultante de deux forces qui ne sont pas alignées. Si deux forces F₁ et F₂ forment un angle α, leur résultante R vérifie :
R² = F₁² + F₂² - 2F₁F₂ cos(180° - α) = F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos(α)Mesurer des distances inaccessibles en créant des triangles de mesure (triangulation).
Calculer des distances, des angles de vue, détecter des collisions entre objets.
Calculer les distances entre astres quand on connaît leurs positions angulaires.
La loi des cosinus ne remplace pas Pythagore, elle l'englobe :
...il devient un cas particulier !
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R(où R est le rayon du cercle circonscrit)
Aire = (1/2) bc sin(α)a² = b² + c² - 2bc cos(α)
b² = a² + c² - 2ac cos(β)
c² = a² + b² - 2ab cos(γ)| Aspect | Pythagore | Al-Kashi |
|---|---|---|
| Époque | VIᵉ siècle av. J.-C. | XVᵉ siècle |
| Domaine | Triangle rectangle | Tous les triangles |
| Formule | a² = b² + c² | a² = b² + c² - 2bc cos(α) |
| Vision | Longueurs indépendantes | Longueurs en interaction |
| Outil | Somme de carrés | Produit scalaire (implicite) |
| Portée | Cas particulier | Loi générale |
"Ce n'est plus une géométrie figée. C'est une géométrie vivante, où chaque côté influence l'autre. C'est précisément là que réside sa supériorité : sa capacité à décrire le réel tel qu'il est et non tel qu'on aimerait qu'il soit."
La beauté des mathématiques : elles révèlent que la réalité est plus riche que nos premières intuitions.
Bien avant Pythagore, les Babyloniens connaissaient déjà des triplets pythagoriciens (3-4-5, 5-12-13...) gravés sur la tablette Plimpton 322. Ils utilisaient ces relations sans démonstration formelle, de manière empirique pour l'arpentage et la construction.
Pythagore de Samos (vers 570-495 av. J.-C.) ne se contentait pas d'énoncer a² = b² + c². Pour les pythagoriciens, c'était une vérité mystique : les nombres gouvernaient l'univers. La démonstration géométrique utilisait probablement des aires de carrés.
Innovation majeure : Passage de l'observation empirique à la démonstration logique.
Dans les Éléments (Livre I, Proposition 47), Euclide donne une démonstration rigoureuse du théorème de Pythagore. Il le généralise même : on peut construire n'importe quelle figure semblable sur les côtés, pas seulement des carrés !
Aryabhata (476-550) et Brahmagupta (598-668) développent la trigonométrie avec les premières tables de sinus. Ils s'approchent de relations générales pour les triangles non rectangles, posant les bases conceptuelles.
Le "père de l'algèbre" systématise les méthodes de résolution d'équations. Son nom donnera "algorithme".
Améliore considérablement la trigonométrie, établit des tables précises de sinus et cosinus.
Ghiyath al-Din Jamshid al-Kashi, astronome et mathématicien persan travaillant à l'observatoire de Samarcande sous Ulugh Beg, révolutionne la trigonométrie.
Son œuvre majeure : "Traité de la corde et du sinus" (vers 1424)
Innovation révolutionnaire : Il énonce la loi des cosinus sous une forme équivalente à :
a² = b² + c² - 2bc cos(α)Contexte : Al-Kashi cherchait à résoudre des problèmes d'astronomie sphérique pour calculer les positions des astres. Il avait besoin d'outils pour tous les triangles, pas seulement rectangles.
Précision légendaire : Al-Kashi calcule π avec 16 décimales exactes (record pendant 180 ans) et crée des tables trigonométriques d'une précision inouïe.
Introduit la trigonométrie arabe en Europe avec son De triangulis omnimodis (1464, publié en 1533). Il reformule la loi des cosinus de manière plus accessible aux Européens.
Développe l'algèbre symbolique moderne, facilitant l'expression des relations trigonométriques.
Unifie algèbre et géométrie. La géométrie analytique permet de calculer ce qu'on construisait auparavant.
Crée l'algèbre vectorielle dans son Ausdehnungslehre (1844). Il invente le produit scalaire, révélant la structure profonde derrière la loi des cosinus :
u⃗ · v⃗ = ||u⃗|| ||v⃗|| cos(θ)Développe les quaternions (1843), étendant les vecteurs aux dimensions supérieures.
Simplifie et popularise le calcul vectoriel moderne (1880s), celui qu'on enseigne aujourd'hui.
Révélation : La loi d'Al-Kashi n'est qu'une expression du produit scalaire ! Toute sa géométrie se cache dans :
||u⃗ - v⃗||² = ||u⃗||² + ||v⃗||² - 2u⃗·v⃗La loi des cosinus se généralise aux espaces courbes :
Les espaces vectoriels de dimension infinie révèlent que ces concepts s'appliquent aux fonctions, aux signaux, aux états quantiques...
Exemple : En mécanique quantique, l'angle entre deux états quantiques |ψ⟩ et |φ⟩ se définit par :
cos(θ) = |⟨ψ|φ⟩| / (||ψ|| ||φ||)Obstacles conceptuels :
Entre 750 et 1450, pendant que l'Europe médiévale stagnait, le monde islamique :
Sans cette transmission, la science européenne aurait peut-être mis des siècles de plus à redécouvrir ces connaissances.
Navigation maritime (XVᵉ-XVIᵉ siècle) : La loi des cosinus permet de calculer les routes maritimes et les positions. Les Grandes Découvertes deviennent possibles.
Cartographie : Représenter la Terre sphérique sur une carte plane nécessite la trigonométrie avancée.
Astronomie : Calculer les positions des planètes, prédire les éclipses, comprendre le système solaire.
Géodésie : Mesurer la Terre avec précision (expédition de Laponie, arc de méridien...).
Télécommunications modernes : Le traitement du signal utilise massivement les produits scalaires (transformation de Fourier, compression, filtrage...).
Intelligence artificielle : Les réseaux de neurones utilisent des produits scalaires pour mesurer des "similarités" entre vecteurs de haute dimension.
"Ces trois longueurs forment un triangle rectangle"
"Pour tout triangle rectangle, la somme des carrés..."
"Les rapports dans un triangle dépendent des angles"
"a² = b² + c² - 2bc cos(α)"
"||u⃗ - v⃗||² = ||u⃗||² + ||v⃗||² - 2u⃗·v⃗"
"Dans tout espace préhilbertien..."
Problème : cos(α) nécessite des calculs complexes.
Solution : Tables trigonométriques (Al-Battani, Al-Kashi) puis logarithmes (Neper, 1614) puis règles à calcul.
Problème : Largeur d'un fleuve, hauteur d'une montagne, distance à la Lune.
Solution : Triangulation + loi des cosinus/sinus.
Problème : Deux forces non alignées donnent quelle résultante ?
Solution : Composition vectorielle → produit scalaire → loi des cosinus.
Problème : Deux documents textes sont-ils similaires ? Deux images ? Deux génomes ?
Solution : Les représenter comme vecteurs, calculer leur "angle" (cosinus de similarité).
Les embeddings (représentations vectorielles) utilisent massivement le produit scalaire. ChatGPT, DALL-E, etc. comparent constamment des vecteurs de milliers de dimensions avec... des produits scalaires !
Les états quantiques sont des vecteurs dans des espaces de Hilbert (infini-dimensionnels). L'angle entre états quantique = probabilité de transition.
Les algorithmes de descente de gradient utilisent des produits scalaires pour trouver les directions de recherche optimales.
Certains systèmes cryptographiques modernes utilisent la géométrie des réseaux euclidiens (lattices) où les distances et angles sont cruciaux.
| Période | Acteur | Contribution |
|---|---|---|
| 1800 av. J.-C. | Babyloniens | Triplets pythagoriciens empiriques |
| 570-495 av. J.-C. | Pythagore | Théorème + démonstration |
| 300 av. J.-C. | Euclide | Formalisation rigoureuse |
| 476-550 | Aryabhata | Premières tables de sinus |
| 780-850 | Al-Khwarizmi | Algèbre systématique |
| 858-929 | Al-Battani | Trigonométrie précise |
| 1380-1429 | Al-Kashi | Loi des cosinus |
| 1436-1476 | Regiomontanus | Transmission en Europe |
| 1596-1650 | Descartes | Géométrie analytique |
| 1809-1877 | Grassmann | Algèbre vectorielle |
| 1839-1903 | Gibbs | Calcul vectoriel moderne |
| 1900-... | XXᵉ siècle | Généralisation abstraite |
De Pythagore à l'IA moderne, la même structure mathématique se répète :
La loi des cosinus n'est pas "une formule". C'est une structure universelle qui décrit comment des entités orientées interagissent dans l'espace.
C'est ça, la magie des mathématiques : découvrir que la même vérité se cache partout, du plus concret au plus abstrait.
Situation : Votre cerf-volant est coincé à 8 mètres de hauteur. Vous avez une corde de 10 mètres et vous vous tenez à 5 mètres du pied de l'arbre.
Question : Si vous tirez la corde tendue, quel angle fait-elle avec le sol ?
Solution avec Al-Kashi :
a² = b² + c² - 2bc cos(α)
64 = 100 + 25 - 2(10)(5) cos(α)
64 = 125 - 100 cos(α)
100 cos(α) = 61
cos(α) = 0,61
α ≈ 52°Conclusion : La corde fait un angle d'environ 52° avec le sol. C'est assez pentu, vous allez pouvoir tirer efficacement !
Situation : Vous êtes ailier gauche à 20 mètres du but. Votre coéquipier est ailier droit, également à 20 mètres du but. Vous êtes séparés de 30 mètres.
Question : Sous quel angle voyez-vous le but depuis votre position ?
Solution :
Triangle formé : vous - but - coéquipier
a² = b² + c² - 2bc cos(α)
900 = 400 + 400 - 2(20)(20) cos(α)
900 = 800 - 800 cos(α)
800 cos(α) = -100
cos(α) = -0,125
α ≈ 97°Conclusion : Vous voyez le but sous un angle d'environ 97°. C'est plus qu'un angle droit ! Vous avez une bonne perspective pour tirer.
Situation : Vous voulez accrocher un tableau avec deux fils de 40 cm chacun. Les crochets sont espacés de 50 cm sur le mur.
Question : Quel angle forment les deux fils au-dessus du tableau ?
Solution :
Triangle formé par les deux fils et la distance entre crochets
a² = b² + c² - 2bc cos(α)
2500 = 1600 + 1600 - 2(40)(40) cos(α)
2500 = 3200 - 3200 cos(α)
3200 cos(α) = 700
cos(α) = 0,219
α ≈ 77°Conclusion : Les fils forment un angle d'environ 77° au sommet. C'est un angle assez ouvert, le tableau sera bien stable !
Situation : Vous partez d'un refuge et marchez 5 km vers le nord-est (45° par rapport au nord). Puis vous tournez et marchez 3 km vers le nord-ouest (135° par rapport à votre direction initiale).
Question : À quelle distance êtes-vous du refuge en ligne droite ?
Solution :
Triangle : refuge - point intermédiaire - position finale
a² = b² + c² - 2bc cos(135°)
a² = 25 + 9 - 2(5)(3)(-0,707)
a² = 34 + 21,21
a² = 55,21
a ≈ 7,43 kmConclusion : Vous êtes à environ 7,4 km du refuge. Sans Al-Kashi, impossible de calculer ça !
Situation : Vous installez une balançoire entre deux arbres espacés de 4 mètres. Chaque corde fait 3 mètres de long.
Question : Quelle est la hauteur maximale d'accrochage si les cordes forment un angle de 60° au sommet ?
Solution :
D'abord, trouvons la hauteur où se rejoignent les cordes. Triangle : arbre 1 - sommet - arbre 2
a² = 3² + 3² - 2(3)(3)cos(60°)
a² = 9 + 9 - 18(0,5)
a² = 18 - 9 = 9
a = 3 mTiens ! Le triangle est équilatéral (tous les côtés égaux).
Hauteur : Dans un triangle équilatéral de côté 3, la hauteur vaut :
h = 3 × √3/2 ≈ 2,6 mConclusion : Les cordes se rejoignent à environ 2,6 mètres de hauteur. Parfait pour des enfants !
Situation : Vous assemblez deux planches de 30 cm formant un angle de 120°. Vous devez couper une troisième planche pour fermer le triangle.
Question : Quelle longueur couper ?
Solution :
a² = 30² + 30² - 2(30)(30)cos(120°)
a² = 900 + 900 - 1800(-0,5)
a² = 1800 + 900 = 2700
a ≈ 52 cmConclusion : Coupez environ 52 cm. Vérification : cos(120°) = -0,5 car 120° est un angle obtus, donc le terme négatif devient positif, augmentant la distance !
Situation : Votre téléphone capte deux antennes-relais :
Question : Sous quel angle "voyez-vous" les deux antennes depuis votre position ?
Solution :
Triangle : vous - antenne A - antenne B
3² = 2² + 2,5² - 2(2)(2,5)cos(α)
9 = 4 + 6,25 - 10 cos(α)
10 cos(α) = 1,25
cos(α) = 0,125
α ≈ 83°Conclusion : Les deux antennes sont presque perpendiculaires depuis votre position (83°). Bonne géométrie pour une localisation précise !
Situation : Vous et votre ami tirez une voiture en panne. Vous tirez avec 300 N, votre ami avec 250 N. Vos cordes forment un angle de 40°.
Question : Quelle est la force résultante sur la voiture ?
Solution : (On utilise la loi des cosinus "à l'envers")
F² = 300² + 250² - 2(300)(250)cos(180° - 40°)
F² = 90000 + 62500 - 150000 cos(140°)
F² = 152500 - 150000(-0,766)
F² = 152500 + 114900 = 267400
F ≈ 517 NConclusion : Ensemble, vous exercez environ 517 N. C'est moins que 300+250=550 N parce que vous ne tirez pas exactement dans la même direction !
Situation : Au cochonnet ! Votre boule est à 4 mètres du cochonnet. La boule adverse est à 3 mètres du cochonnet. Les deux boules sont séparées de 5 mètres.
Question : Quel angle forment les trajectoires depuis le cochonnet vers chaque boule ?
Solution :
5² = 4² + 3² - 2(4)(3)cos(α)
25 = 16 + 9 - 24 cos(α)
24 cos(α) = 0
cos(α) = 0
α = 90°Conclusion : Les boules sont à angle droit depuis le cochonnet ! (Triangle rectangle 3-4-5, le fameux triplet pythagoricien)
Situation : Vous installez une étagère de 80 cm. Vous la soutenez avec deux équerres de 30 cm chacune fixées aux extrémités. Le mur et l'étagère forment un angle droit.
Question : Quelle distance sépare les deux points de fixation sur le mur ?
Solution :
Chaque équerre forme un triangle avec le mur et l'étagère. Par Pythagore, la distance du point de fixation mural à l'angle droit vaut :
d² = 30² - (80/2)² = 900 - 1600... ❌ Erreur ! 30 cm est trop court pour une étagère de 80 cm !
Reformulons : Étagère de 60 cm, équerres de 40 cm.
Supposons que les équerres font un angle de 30° avec la verticale.
Distance horizontale de chaque équerre : 40 × sin(30°) = 20 cm
Distance entre fixations : 60 + 2(20) = 100 cm
Avec Al-Kashi pour vérifier : Triangle formé (extrémité étagère - fixation - coin mur)
40² = 30² + d² - 2(30)(d)cos(90°)
1600 = 900 + d²
d ≈ 26,5 cm du coinConclusion : La géométrie de l'installation est plus complexe qu'il n'y paraît ! Al-Kashi vous aide à tout calculer précisément.
a² = b² + c² - 2bc cos(α)Si α = 90° : cos(90°) = 0
→ Retour à Pythagore : a² = b² + c²
Si α = 60° : cos(60°) = 0,5
→ a² = b² + c² - bc
Si α = 120° : cos(120°) = -0,5
→ a² = b² + c² + bc
Si b = c (triangle isocèle)
→ a² = 2b²(1 - cos α)
| Angle | Cosinus |
|---|---|
| 0° | 1 |
| 30° | √3/2 ≈ 0,866 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,707 |
| 60° | 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | -0,5 |
| 135° | -√2/2 ≈ -0,707 |
| 150° | -√3/2 ≈ -0,866 |
| 180° | -1 |
Question 1 : Deux routes se séparent avec un angle de 45°. Vous roulez 10 km sur l'une, votre ami 10 km sur l'autre. Distance finale entre vous ?
a² = 10² + 10² - 2(10)(10)cos(45°)
a² = 200 - 200(0,707) = 200 - 141,4 = 58,6
a ≈ 7,65 kmQuestion 2 : Triangle avec côtés 5, 7, 8. Quel est l'angle opposé au côté de 8 ?
8² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(α)
64 = 25 + 49 - 70 cos(α)
70 cos(α) = 10
cos(α) = 0,143
α ≈ 82°Question 3 : Est-ce qu'un triangle de côtés 3, 4, 6 existe ?
Vérifions avec l'inégalité triangulaire : 3 + 4 = 7 > 6 ✓
Calculons l'angle opposé au plus grand côté :
6² = 3² + 4² - 2(3)(4)cos(α)
36 = 9 + 16 - 24 cos(α)
24 cos(α) = -11
cos(α) ≈ -0,458
α ≈ 117°Oui, le triangle existe avec un angle obtus d'environ 117° !
Situation : Vous installez une caméra de surveillance au coin d'un bâtiment. Elle doit surveiller deux portes : une à 15 mètres au nord, l'autre à 12 mètres à l'est. Les portes sont séparées de 19 mètres.
Question : Quel angle de vue minimal doit avoir la caméra pour couvrir les deux portes ?
Solution :
Triangle : caméra - porte nord - porte est
19² = 15² + 12² - 2(15)(12)cos(α)
361 = 225 + 144 - 360 cos(α)
360 cos(α) = 8
cos(α) ≈ 0,022
α ≈ 89°Conclusion : La caméra doit avoir un angle de vue d'au moins 89° (presque un angle droit). Prenez une caméra grand-angle avec au moins 100° de champ de vision pour avoir de la marge !
Situation : Un drone livre des colis. Il part de l'entrepôt, vole 800 mètres vers un premier client, puis 600 mètres vers un second client. L'angle entre les deux trajets est de 110°.
Question : Quelle distance doit parcourir le drone pour rentrer directement à l'entrepôt ?
Solution :
Triangle : entrepôt - client 1 - client 2
a² = 800² + 600² - 2(800)(600)cos(110°)
a² = 640000 + 360000 - 960000(-0,342)
a² = 1000000 + 328320
a² = 1328320
a ≈ 1153 mConclusion : Le drone doit voler environ 1153 mètres pour rentrer. Total du circuit : 800 + 600 + 1153 = 2553 m. Sans Al-Kashi, impossible de calculer l'autonomie nécessaire !
Bonus économie : Si le drone était revenu après chaque livraison, il aurait parcouru 800 + 800 + 600 + 600 = 2800 m. Le circuit optimisé économise 247 mètres, soit ~9% de batterie !
Situation : Vous devez monter sur un toit en pente. L'échelle fait 5 mètres, le mur vertical 3,5 mètres. Mais le toit dépasse de 1,2 mètre du mur avec une pente de 30°.
Question : L'échelle atteint-elle le bord du toit ?
Solution :
D'abord, calculons la distance entre le pied de l'échelle et le point où on veut arriver sur le toit.
Position du bord du toit :
Triangle : pied échelle - haut du mur - bord du toit
Distance du pied au bord : On utilise Pythagore d'abord
d² = 3,5² + 1,2² = 12,25 + 1,44 = 13,69
d ≈ 3,7 mMaintenant, l'échelle de 5 m posée avec un angle β par rapport au sol doit atteindre ce point à 3,7 m de distance et 3,5 m de haut.
Vérification : Si l'échelle touche le sol à 2 m du mur :
5² = 3,5² + 2² - 2(3,5)(2)cos(90°)
25 = 12,25 + 4 + 0 = 16,25 ❌Il faut la poser à environ 3,5 m du mur :
5² = 3,5² + 3,5² = 24,5
√24,5 ≈ 4,95 m ≈ 5 m ✓Conclusion : Avec une échelle de 5 m, vous pouvez atteindre le haut du mur de 3,5 m en la posant à environ 3,5 m du mur (angle de 45°). Pour atteindre le bord du toit qui dépasse, il faut une échelle plus longue ou ajuster la position !
Situation : Vous installez un système d'arrosage rotatif au centre de votre pelouse rectangulaire de 12 m × 8 m. L'arroseur a une portée de 7 mètres.
Question : Les quatre coins de la pelouse sont-ils arrosés ?
Solution :
Distance du centre aux coins (demi-diagonale) :
d² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
d ≈ 7,21 mProblème : 7,21 m > 7 m → Les coins ne sont pas arrosés !
Question bonus : Si vous décalez l'arroseur de 2 m vers un coin, quelle surface totale est arrosée ?
Triangle : arroseur - coin proche - coin éloigné
Nouveau centre décalé : à 4 m d'un coin proche, calculons la distance au coin le plus éloigné.
Position décalée de 2 m sur l'axe longitudinal :
Conclusion : Même décalé, un seul arroseur ne suffit pas. Il faut soit un arroseur de portée 8 m minimum au centre, soit deux arroseurs de 5 m chacun placés stratégiquement !
Situation : Au billard, la bille blanche est à 40 cm de la bande latérale et à 80 cm de la bille rouge. La bille rouge est à 30 cm de la bande. Vous voulez toucher la rouge par réflexion sur la bande.
Question : À quelle distance de la rouge devez-vous viser sur la bande ?
Solution :
Par symétrie, on crée le "reflet" de la bille blanche de l'autre côté de la bande.
Distance bille blanche-reflet à la bande : 40 cm de chaque côté = 80 cm de séparation
Distance horizontale entre les billes : disons 50 cm
Triangle : bille blanche - point d'impact - bille rouge
Si la bille rouge est à 30 cm de la bande et la blanche à 40 cm, avec 80 cm de distance totale entre elles :
Par Pythagore, distance horizontale le long de la bande :
80² = 10² + d²
6400 = 100 + d²
d ≈ 79,4 cmAvec Al-Kashi pour vérifier l'angle d'impact (angle entre trajectoire et bande) :
80² = 40² + x² - 2(40)(x)cos(θ)où x est la distance au point d'impact sur la bande.
Conclusion pratique : Visez la bande à environ 55-60 cm de votre position sur la longueur de table. L'angle d'incidence sera égal à l'angle de réflexion (loi de Descartes optique, qui s'applique aussi aux billes !).
Situation : Vous installez une parabole satellite orientable. Trois satellites sont visibles :
Question : Quel est l'angle de rotation nécessaire pour passer du satellite A au satellite C ?
Solution :
On travaille en géométrie sphérique simplifiée. Les "côtés" sont des angles.
Triangle sphérique : position actuelle - satellite A - satellite C
L'angle de rotation α nécessaire (en approximation plane pour petits angles) :
α² ≈ 7² + 40² = 49 + 1600 = 1649
α ≈ 40,6°Avec Al-Kashi exact (en considérant la géométrie sphérique) :
Les satellites sont sur une sphère céleste. L'angle entre deux directions est donné par :
cos(α) = cos(Δél)cos(Δaz)
≈ cos(7°)cos(40°)
≈ 0,993 × 0,766 ≈ 0,761
α ≈ 40,4°Conclusion : Vous devez pivoter la parabole d'environ 40° pour passer d'un satellite à l'autre. La géométrie sphérique utilise les mêmes principes qu'Al-Kashi !
| N° | Situation | Concept clé |
|---|---|---|
| 1 | Cerf-volant | Angle avec hauteur |
| 2 | Football | Angle de vision |
| 3 | Tableau | Installation pratique |
| 4 | Randonnée | Navigation terrain |
| 5 | Balançoire | Triangle équilatéral |
| 6 | Menuiserie | Angle obtus |
| 7 | GPS | Triangulation |
| 8 | Forces | Composition vectorielle |
| 9 | Pétanque | Triplet pythagoricien |
| 10 | Étagère | Géométrie 3D |
| 11 | Caméra | Angle de vue |
| 12 | Drone | Optimisation trajet |
| 13 | Échelle | Sécurité accès |
| 14 | Arrosage | Couverture surface |
| 15 | Billard | Réflexion |
| 16 | Parabole | Géométrie sphérique |
Chaque exemple montre que la loi des cosinus n'est pas qu'une formule abstraite, mais un outil pratique du quotidien !
D'après le post de François Giltaire - Développé pour comprendre la profondeur historique et conceptuelle de la loi des cosinus
https://www.linkedin.com/in/fgiltaire/
Son post précis : https://www.linkedin.com/posts/fgiltaire_au-vi%E1%B5%89-si%C3%A8cle-av-j-c-pythagore-ne-parle-activity-7397982061870911488-RjWD?utm_source=share&utm_medium=member_desktop&rcm=ACoAAC-2xsQBmWa5-8_ixEkCDEgAZUQT8AGR2tk