Publié en décembre 2025
Des problèmes d'apparence simple qui défient les mathématiciens depuis des siècles !
Ces conjectures partagent un point commun fascinant : leur énoncé est si simple qu'un enfant peut les comprendre, mais leur démonstration est si complexe qu'elles résistent aux plus grands mathématiciens depuis des décennies, voire des siècles.
Certaines ont même été vérifiées pour des milliards de cas... sans qu'on puisse les prouver pour autant !
Proposée en 1937 par Lothar Collatz
Prenez n'importe quel nombre entier positif :
Répétez l'opération. Finit-on toujours par tomber sur 1 ?
7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 ✓🔴 Non résolue — Prix de 500$ offert par Erdős
En français :
En anglais :
Formulée en 1742 par Christian Goldbach
Tout nombre pair supérieur à 2 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers.
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83🔴 Non résolue — 280+ ans d'échecs
Documentation française :
Conjecture antique, toujours non résolue
Existe-t-il une infinité de paires de nombres premiers séparés de 2 ?
(3, 5) | (5, 7) | (11, 13) | (17, 19) | (29, 31) | (41, 43) | (71, 73)...Record actuel : 2 996 863 034 895 × 2¹ ²⁹⁰ ⁰⁰⁰ ± 1 (388 342 chiffres !)
🔴 Non résolue — Problème millénaire
La plus ancienne énigme mathématique
Un nombre parfait = la somme de ses diviseurs (sauf lui-même).
Tous ceux connus sont pairs. Existe-t-il un nombre parfait impair ?
6 = 1 + 2 + 3 ✓
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ✓
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 ✓Le 51ème nombre parfait connu : 2⁸² ⁵⁸⁹ ⁹³² (2⁸² ⁵⁸⁹ ⁹³³ - 1) avec 49 724 095 chiffres !
🔴 Non résolue — Cherché depuis l'Antiquité grecque
Proposée en 1808 par Adrien-Marie Legendre
Y a-t-il toujours au moins un nombre premier entre n² et (n+1)² ?
Entre 4² (16) et 5² (25) → 17, 19, 23 ✓
Entre 10² (100) et 11² (121) → 101, 103, 107, 109, 113 ✓
Entre 100² et 101² → 28 nombres premiers trouvés ✓🔴 Non résolue — Compréhensible en 5ème, insoluble depuis 1808
Est-elle rationnelle ou irrationnelle ?
γ ≈ 0,5772156649... est la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel.
Est-elle rationnelle (p/q) ou irrationnelle ?
γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln(n)) quand n → ∞
Valeur : γ = 0,577215664901532860606512090082...🔴 Non résolue — Un mystère absolu
Le Graal des mathématiques — 1 million $ de prix
Tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont-ils une partie réelle égale à 1/2 ?
ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + ...
L'hypothèse : Tous les zéros complexes ont la forme s = 1/2 + it🔴 Non résolue — Le Saint Graal mathématique depuis 1859
Simple à énoncer, aux conséquences immenses
Pour a + b = c (premiers entre eux), le produit des facteurs premiers distincts de abc n'est jamais "beaucoup plus petit" que c.
Si a + b = c avec pgcd(a,b,c) = 1, alors :
Pour tout ε > 0, il existe K tel que c < K · rad(abc)¹⁺ᵋ
(où rad(n) = produit des facteurs premiers distincts de n)
1 + 8 = 9
rad(1 × 8 × 9) = rad(72) = 2 × 3 = 6
On a 9 > 6, c'est un cas "rare" prédit par la conjecture🔴 Non résolue — Potentiellement révolutionnaire
Sont-ils en nombre infini ?
Un nombre de Mersenne a la forme Mₚ = 2ᵖ - 1 (où p est premier).
Existe-t-il une infinité de nombres premiers de Mersenne ?
M₂ = 2² - 1 = 3 (premier) ✓
M₃ = 2³ - 1 = 7 (premier) ✓
M₅ = 2⁵ - 1 = 31 (premier) ✓
M₇ = 2⁷ - 1 = 127 (premier) ✓
M₁₁ = 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 (composé) ✗Plus on monte dans les puissances, plus les nombres de Mersenne deviennent rares... mais on continue d'en trouver de nouveaux régulièrement !
🔴 Non résolue — Question ouverte malgré des millénaires de recherche
Le mystère des palindromes impossibles
Prenez un nombre. Inversez ses chiffres et ajoutez-le au nombre original. Répétez.
Certains nombres ne deviennent-ils jamais palindromes ?
Cas normal (89) :
89 + 98 = 187
187 + 781 = 968
968 + 869 = 1837
1837 + 7381 = 9218
9218 + 8129 = 17347
17347 + 74371 = 91718
91718 + 81719 = 173437
173437 + 734371 = 907808
907808 + 808709 = 1716517
1716517 + 7156171 = 8872688
8872688 + 8862788 = 17735476
17735476 + 67453771 = 85189247
85189247 + 74298158 = 159487405
159487405 + 504784951 = 664272356
664272356 + 653272466 = 1317544822
1317544822 + 2284457131 = 3602001953
3602001953 + 3591002063 = 7193004016
7193004016 + 6104003917 = 13297007933 (palindrome après 24 étapes !)Cas suspect (196) :
Un "nombre de Lychrel" est un nombre qui ne devient jamais palindrome par ce processus.
Le problème : Aucun n'a jamais été prouvé mathématiquement ! On a seulement des "candidats".
196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887...
🔴 Non résolue — L'existence des nombres de Lychrel en base 10 n'est ni prouvée ni réfutée
Le cousin américain de Fermat — 1 million $ à la clé !
Si Aˣ + Bʸ = Cᶻ où A, B, C, x, y, z sont des entiers positifs avec x, y, z > 2,
alors A, B et C ont-ils forcément un facteur premier commun ?
3³ + 6³ = 3⁵ (facteur commun : 3) ✓
7⁶ + 7⁷ = 98⁴ (facteur commun : 7) ✓Le dernier théorème de Fermat (démontré) dit qu'il n'existe aucune solution à xⁿ + yⁿ = zⁿ pour n > 2.
La conjecture de Beal est plus générale : elle dit que s'il existe des solutions avec des exposants > 2 différents, alors les bases doivent partager un facteur premier.
🔴 Non résolue — 1M$ vous attend !
Tous composés après F₄ ?
Un nombre de Fermat a la forme Fₙ = 2^(2ⁿ) + 1
Fermat conjecturait qu'ils étaient tous premiers. Il avait tort !
Nouvelle question : Sont-ils tous composés après F₄ ?
F₀ = 2¹ + 1 = 3 (premier) ✓
F₁ = 2² + 1 = 5 (premier) ✓
F₂ = 2⁴ + 1 = 17 (premier) ✓
F₃ = 2⁸ + 1 = 257 (premier) ✓
F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65 537 (premier) ✓
F₅ = 2³² + 1 = 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417 (composé) ✗En 1640, Fermat affirma que tous les Fₙ étaient premiers. En 1732, Euler démontra que F₅ est composé !
Les nombres de Fermat premiers permettent de construire des polygones réguliers à la règle et au compas !
Un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n = 2ᵏ × p₁ × p₂ × ... où les pᵢ sont des nombres de Fermat premiers distincts.
🔴 Non résolue — L'inverse de la conjecture originale de Fermat !
Ces énigmes nous rappellent l'humilité nécessaire face aux mathématiques. Certains des esprits les plus brillants de l'humanité ont échoué là où un énoncé de CE2 suffit...
"Les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes."
— Paul Erdős, à propos de la conjecture de Collatz
En français :
En anglais :
📖 "Les problèmes non résolus en mathématiques" - Collectif
📖 "The Millennium Problems" - Keith Devlin
📖 "Oncle Petros et la conjecture de Goldbach" - Apostolos Doxiadis (roman)
📖 "Prime Obsession" - John Derbyshire (sur l'hypothèse de Riemann)
🎥 Science Étonnante (YouTube) - Chaîne française de vulgarisation
🎥 Numberphile (YouTube) - Chaîne anglaise sur les mathématiques
🎥 3Blue1Brown (YouTube) - Visualisations mathématiques exceptionnelles
🎥 Micmaths (YouTube) - Vulgarisation mathématique en français
💬 ↗ - Forum français
💬 ↗ - Forum académique (EN)
💬 ↗ - Communauté Reddit (EN)
💬 ↗ - Questions/réponses (EN)
🏆 Prix du Millénaire (Clay Institute) - 1 000 000 $ par problème
🏆 Médaille Fields - "Prix Nobel" des mathématiques
🏆 Prix Abel - Prix prestigieux en mathématiques
🏆 GIMPS - Récompenses pour découverte de nombres premiers de Mersenne
Pourquoi ces problèmes résistent-ils ?
1. Simplicité trompeuse : Un énoncé simple cache souvent une complexité abyssale
2. Outils manquants : Nous n'avons peut-être pas encore les mathématiques nécessaires
3. Nature profonde : Ces problèmes touchent aux fondements mêmes des mathématiques
4. Interconnexion : Résoudre l'un pourrait en débloquer d'autres
L'importance de l'échec : Même les tentatives ratées font progresser la science. Chaque approche infructueuse élimine une voie et inspire de nouvelles idées.
# Votre arsenal technique
while not_resolved:
genius_idea = random_epiphany()
if genius_idea.seems_obvious():
# Alerte rouge ! Les idées "évidentes"
# sont toujours fausses
continue
proof = write_demonstration(genius_idea)
if proof.contains("il est évident que"):
# Traduction : "Je ne sais pas comment le prouver"
fatal_error()
if mathematicians.validate(proof):
collect_million_dollars()
break
else:
depression_level += 1🚩 Vous avez un problème si :
Le syndrome du "presque" :
"J'ai presque résolu Goldbach ! Il me manque juste le cas
où n est très grand et impair... attendez, non, pair...
attendez... *son of a...*"L'illusion de la vérification numérique :
Testé jusqu'à 10¹⁸ ✓
Donc c'est forcément vrai pour 10¹⁹⁹⁹⁹ !
Logique. Imparable. Nobel.
(Narrateur: Ce n'était pas imparable.)Le piège de la généralisation abusive :
3 est premier ✓
5 est premier ✓
7 est premier ✓
Conclusion : Tous les nombres impairs sont premiers !
9 : "Am I a joke to you?"Si la démonstration échoue, essayez :
1. La méthode Fermat : Écrivez "J'ai trouvé une démonstration merveilleuse mais la marge est trop petite"
2. La méthode Mochizuki : Inventez 500 pages de nouvelles mathématiques que personne ne comprend
3. La méthode probabiliste : "Il y a 99,99999% de chances que ce soit vrai"
Signes qu'il est temps de passer à autre chose :
"Si c'était facile, ça s'appellerait une démonstration, pas une conjecture."
— Mathématicien anonyme, après sa 47ème tentative ratée
Conseil ultime : Si vous trouvez vraiment une solution, vérifiez-la trois fois avant de l'annoncer. Le ridicule ne tue pas, mais dans la communauté mathématique, il laisse des cicatrices permanentes.
Et rappelez-vous : échouer sur ces problèmes, c'est rejoindre un club très sélect de génies qui ont échoué avant vous. Vous êtes en bonne compagnie ! 🎓