D'Al-Kashi à Pythagore : La Géométrie qui Dialogue

🎯 L'idée centrale

Pythagore (VIᵉ siècle av. J.-C.) : a² = b² + c²

Al-Kashi (XVᵉ siècle) : a² = b² + c² - 2bc cos(α)

Le génie d'Al-Kashi ? Ajouter un terme qui capture l'interaction entre les côtés selon leur orientation.

📐 La révolution conceptuelle

Pythagore : la géométrie des perpendiculaires

• Valable uniquement pour les triangles rectangles
• Addition pure de carrés
• Les côtés vivent indépendamment

Al-Kashi : la géométrie des directions

• Valable pour tous les triangles
• Correction par le terme -2bc cos(α)
• Les côtés dialoguent à travers l'angle qui les sépare

🔍 Comprendre le terme correctif : -2bc cos(α)

Ce terme mystérieux exprime comment deux côtés interagissent selon leur angle :

Interprétation géométrique : Le terme -2bc cos(α) représente la "projection" d'un côté sur l'autre, multiplié par 2 (pour les deux directions).

Interprétation vectorielle : C'est le produit scalaire des vecteurs représentant les côtés b et c, qui mesure leur "alignement".

🎨 Visualisation intuitive

Imaginez deux bâtons de longueurs b et c :

Si α = 0° : Les bâtons sont bout à bout, alignés

→ Distance entre extrémités = |b - c|

→ a² = (b - c)² = b² + c² - 2bc ✓

Si α = 90° : Les bâtons forment un angle droit

→ Distance = hypoténuse

→ a² = b² + c² ✓ (Pythagore)

Si α = 180° : Les bâtons sont opposés

→ Distance = b + c

→ a² = (b + c)² = b² + c² + 2bc ✓

🧮 La démonstration vectorielle (moderne)

Soit u⃗ et v⃗ les vecteurs représentant les côtés b et c.

Le côté opposé a est le vecteur u⃗ - v⃗

Sa longueur au carré est :

||u⃗ - v⃗||² = (u⃗ - v⃗) · (u⃗ - v⃗)
            = u⃗·u⃗ - 2u⃗·v⃗ + v⃗·v⃗
            = ||u⃗||² + ||v⃗||² - 2u⃗·v⃗
            = b² + c² - 2bc cos(α)

Donc : a² = b² + c² - 2bc cos(α)

🌍 Applications concrètes

Navigation et GPS

Calculer la distance réelle entre deux points quand on connaît leurs coordonnées polaires (distance et angle depuis un point de référence).

Architecture et construction

Vérifier les diagonales d'une structure trapézoïdale, calculer la longueur d'une poutre oblique, dimensionner des charpentes à angles variables.

Physique et mécanique

Calculer la résultante de deux forces qui ne sont pas alignées. Si deux forces F₁ et F₂ forment un angle α, leur résultante R vérifie :

R² = F₁² + F₂² - 2F₁F₂ cos(180° - α) = F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos(α)

Topographie

Mesurer des distances inaccessibles en créant des triangles de mesure (triangulation).

Infographie 3D

Calculer des distances, des angles de vue, détecter des collisions entre objets.

Astronomie

Calculer les distances entre astres quand on connaît leurs positions angulaires.

💡 La grande leçon philosophique

Pythagore n'a pas été "dépassé", il a été généralisé

La loi des cosinus ne remplace pas Pythagore, elle l'englobe :

• Pythagore reste éternellement vrai pour α = 90°
• Al-Kashi révèle que Pythagore est un cas particulier d'une vérité plus vaste

Un bon théorème ne meurt jamais...

...il devient un cas particulier !

La géométrie devient vivante

• Les longueurs ne sont plus isolées
• Elles dialoguent à travers leurs directions
• L'angle devient un acteur à part entière

🎓 Formules connexes (bonus)

Loi des sinus

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

(où R est le rayon du cercle circonscrit)

Aire du triangle

Aire = (1/2) bc sin(α)

Les trois formes de la loi des cosinus

a² = b² + c² - 2bc cos(α)
b² = a² + c² - 2ac cos(β)
c² = a² + b² - 2ab cos(γ)

🎯 En résumé

✨ Citation finale

"Ce n'est plus une géométrie figée. C'est une géométrie vivante, où chaque côté influence l'autre. C'est précisément là que réside sa supériorité : sa capacité à décrire le réel tel qu'il est et non tel qu'on aimerait qu'il soit."

La beauté des mathématiques : elles révèlent que la réalité est plus riche que nos premières intuitions.

📜 Histoire détaillée : 2500 ans d'évolution

L'ère babylonienne (1800 av. J.-C.)

Bien avant Pythagore, les Babyloniens connaissaient déjà des triplets pythagoriciens (3-4-5, 5-12-13...) gravés sur la tablette Plimpton 322. Ils utilisaient ces relations sans démonstration formelle, de manière empirique pour l'arpentage et la construction.

Pythagore et son école (VIᵉ siècle av. J.-C.)

Pythagore de Samos (vers 570-495 av. J.-C.) ne se contentait pas d'énoncer a² = b² + c². Pour les pythagoriciens, c'était une vérité mystique : les nombres gouvernaient l'univers. La démonstration géométrique utilisait probablement des aires de carrés.

Innovation majeure : Passage de l'observation empirique à la démonstration logique.

Euclide et la formalisation (IIIᵉ siècle av. J.-C.)

Dans les Éléments (Livre I, Proposition 47), Euclide donne une démonstration rigoureuse du théorème de Pythagore. Il le généralise même : on peut construire n'importe quelle figure semblable sur les côtés, pas seulement des carrés !

Les mathématiciens indiens (Ve-VIIe siècle)

Aryabhata (476-550) et Brahmagupta (598-668) développent la trigonométrie avec les premières tables de sinus. Ils s'approchent de relations générales pour les triangles non rectangles, posant les bases conceptuelles.

Le monde arabo-musulman : l'âge d'or

Al-Khwarizmi (vers 780-850)

Le "père de l'algèbre" systématise les méthodes de résolution d'équations. Son nom donnera "algorithme".

Al-Battani (858-929)

Améliore considérablement la trigonométrie, établit des tables précises de sinus et cosinus.

Al-Kashi (1380-1429) : la synthèse géniale

Ghiyath al-Din Jamshid al-Kashi, astronome et mathématicien persan travaillant à l'observatoire de Samarcande sous Ulugh Beg, révolutionne la trigonométrie.

Son œuvre majeure : "Traité de la corde et du sinus" (vers 1424)

Innovation révolutionnaire : Il énonce la loi des cosinus sous une forme équivalente à :

a² = b² + c² - 2bc cos(α)

Contexte : Al-Kashi cherchait à résoudre des problèmes d'astronomie sphérique pour calculer les positions des astres. Il avait besoin d'outils pour tous les triangles, pas seulement rectangles.

Précision légendaire : Al-Kashi calcule π avec 16 décimales exactes (record pendant 180 ans) et crée des tables trigonométriques d'une précision inouïe.

La Renaissance européenne (XVe-XVIIe siècle)

Regiomontanus (1436-1476)

Introduit la trigonométrie arabe en Europe avec son De triangulis omnimodis (1464, publié en 1533). Il reformule la loi des cosinus de manière plus accessible aux Européens.

François Viète (1540-1603)

Développe l'algèbre symbolique moderne, facilitant l'expression des relations trigonométriques.

René Descartes (1596-1650)

Unifie algèbre et géométrie. La géométrie analytique permet de calculer ce qu'on construisait auparavant.

L'explosion du calcul vectoriel (XIXᵉ siècle)

Hermann Grassmann (1809-1877)

Crée l'algèbre vectorielle dans son Ausdehnungslehre (1844). Il invente le produit scalaire, révélant la structure profonde derrière la loi des cosinus :

u⃗ · v⃗ = ||u⃗|| ||v⃗|| cos(θ)

William Rowan Hamilton (1805-1865)

Développe les quaternions (1843), étendant les vecteurs aux dimensions supérieures.

Josiah Willard Gibbs (1839-1903)

Simplifie et popularise le calcul vectoriel moderne (1880s), celui qu'on enseigne aujourd'hui.

Révélation : La loi d'Al-Kashi n'est qu'une expression du produit scalaire ! Toute sa géométrie se cache dans :

||u⃗ - v⃗||² = ||u⃗||² + ||v⃗||² - 2u⃗·v⃗

XXᵉ siècle : généralisation et abstraction

Géométrie non-euclidienne

La loi des cosinus se généralise aux espaces courbes :

• Sur une sphère (géométrie elliptique)
• Dans l'espace hyperbolique
• En relativité générale pour l'espace-temps courbé

Algèbre linéaire moderne

Les espaces vectoriels de dimension infinie révèlent que ces concepts s'appliquent aux fonctions, aux signaux, aux états quantiques...

Exemple : En mécanique quantique, l'angle entre deux états quantiques |ψ⟩ et |φ⟩ se définit par :

cos(θ) = |⟨ψ|φ⟩| / (||ψ|| ||φ||)

🌍 Impact culturel et scientifique

Pourquoi cette évolution a pris 2000 ans ?

Obstacles conceptuels :

• 1. L'angle comme grandeur mesurable : Les Grecs voyaient l'angle géométriquement, pas numériquement
• 2. Les fonctions trigonométriques : Fallait inventer sinus et cosinus comme rapports
• 3. L'algèbre symbolique : Écrire des formules avec des lettres (inconnues et paramètres)
• 4. Les nombres négatifs : Acceptés tardivement en Europe (XVIᵉ siècle)

Le rôle crucial du monde arabo-musulman

Entre 750 et 1450, pendant que l'Europe médiévale stagnait, le monde islamique :

• Préserve et traduit les textes grecs anciens
• Développe l'algèbre (al-jabr) et la trigonométrie
• Crée les premiers observatoires astronomiques
• Invente les algorithmes de calcul

Sans cette transmission, la science européenne aurait peut-être mis des siècles de plus à redécouvrir ces connaissances.

Applications qui ont changé le monde

Navigation maritime (XVᵉ-XVIᵉ siècle) : La loi des cosinus permet de calculer les routes maritimes et les positions. Les Grandes Découvertes deviennent possibles.

Cartographie : Représenter la Terre sphérique sur une carte plane nécessite la trigonométrie avancée.

Astronomie : Calculer les positions des planètes, prédire les éclipses, comprendre le système solaire.

Géodésie : Mesurer la Terre avec précision (expédition de Laponie, arc de méridien...).

Télécommunications modernes : Le traitement du signal utilise massivement les produits scalaires (transformation de Fourier, compression, filtrage...).

Intelligence artificielle : Les réseaux de neurones utilisent des produits scalaires pour mesurer des "similarités" entre vecteurs de haute dimension.

🔄 Évolution conceptuelle : du concret à l'abstrait

Niveau 1 : Géométrie concrète (Babylone, Pythagore)

"Ces trois longueurs forment un triangle rectangle"

• Mesures physiques
• Triplets de nombres entiers
• Pas de démonstration

Niveau 2 : Géométrie démonstrative (Euclide)

"Pour tout triangle rectangle, la somme des carrés..."

• Raisonnement logique
• Universalité de la relation
• Aires comme objets géométriques

Niveau 3 : Trigonométrie (Inde, monde arabe)

"Les rapports dans un triangle dépendent des angles"

• L'angle devient une variable numérique
• Création de tables trigonométriques
• Extension à tous les triangles (Al-Kashi)

Niveau 4 : Algèbre symbolique (Renaissance)

"a² = b² + c² - 2bc cos(α)"

• Formules générales avec lettres
• Calculs manipulables
• Relations entre objets abstraits

Niveau 5 : Géométrie vectorielle (XIXᵉ)

"||u⃗ - v⃗||² = ||u⃗||² + ||v⃗||² - 2u⃗·v⃗"

• Direction et longueur unifiées
• Produit scalaire comme concept fondamental
• Applicable en toute dimension

Niveau 6 : Abstraction moderne (XXᵉ)

"Dans tout espace préhilbertien..."

• Généralisation aux espaces infinis
• Applications en physique quantique
• Géométries non-euclidiennes

🎓 Les grandes questions résolues en cours de route

Comment calculer sans calculatrice ?

Problème : cos(α) nécessite des calculs complexes.

Solution : Tables trigonométriques (Al-Battani, Al-Kashi) puis logarithmes (Neper, 1614) puis règles à calcul.

Comment mesurer des distances inaccessibles ?

Problème : Largeur d'un fleuve, hauteur d'une montagne, distance à la Lune.

Solution : Triangulation + loi des cosinus/sinus.

Comment unifier les forces en physique ?

Problème : Deux forces non alignées donnent quelle résultante ?

Solution : Composition vectorielle → produit scalaire → loi des cosinus.

Comment comparer des objets complexes ?

Problème : Deux documents textes sont-ils similaires ? Deux images ? Deux génomes ?

Solution : Les représenter comme vecteurs, calculer leur "angle" (cosinus de similarité).

🔮 Perspectives futures

Intelligence artificielle

Les embeddings (représentations vectorielles) utilisent massivement le produit scalaire. ChatGPT, DALL-E, etc. comparent constamment des vecteurs de milliers de dimensions avec... des produits scalaires !

Physique quantique

Les états quantiques sont des vecteurs dans des espaces de Hilbert (infini-dimensionnels). L'angle entre états quantique = probabilité de transition.

Optimisation et apprentissage

Les algorithmes de descente de gradient utilisent des produits scalaires pour trouver les directions de recherche optimales.

Cryptographie

Certains systèmes cryptographiques modernes utilisent la géométrie des réseaux euclidiens (lattices) où les distances et angles sont cruciaux.

📚 Chronologie récapitulative

💎 La leçon philosophique profonde

De Pythagore à l'IA moderne, la même structure mathématique se répète :

• Un triangle dans l'Antiquité
• Des forces en physique classique
• Des états quantiques en mécanique quantique
• Des mots dans un modèle de langage

La loi des cosinus n'est pas "une formule". C'est une structure universelle qui décrit comment des entités orientées interagissent dans l'espace.

C'est ça, la magie des mathématiques : découvrir que la même vérité se cache partout, du plus concret au plus abstrait.

🎯 BONUS : Exemples concrets et abordables

Exemple 1 : Le cerf-volant coincé dans l'arbre 🪁

Situation : Votre cerf-volant est coincé à 8 mètres de hauteur. Vous avez une corde de 10 mètres et vous vous tenez à 5 mètres du pied de l'arbre.

Question : Si vous tirez la corde tendue, quel angle fait-elle avec le sol ?

Solution avec Al-Kashi :

• a = 8 m (hauteur)
• b = 10 m (corde)
• c = 5 m (distance au sol)

a² = b² + c² - 2bc cos(α)
64 = 100 + 25 - 2(10)(5) cos(α)
64 = 125 - 100 cos(α)
100 cos(α) = 61
cos(α) = 0,61
α ≈ 52°

Conclusion : La corde fait un angle d'environ 52° avec le sol. C'est assez pentu, vous allez pouvoir tirer efficacement !

Exemple 2 : Le match de football ⚽

Situation : Vous êtes ailier gauche à 20 mètres du but. Votre coéquipier est ailier droit, également à 20 mètres du but. Vous êtes séparés de 30 mètres.

Question : Sous quel angle voyez-vous le but depuis votre position ?

Solution :

Triangle formé : vous - but - coéquipier

• b = 20 m (votre distance au but)
• c = 20 m (sa distance au but)
• a = 30 m (distance entre vous)

a² = b² + c² - 2bc cos(α)
900 = 400 + 400 - 2(20)(20) cos(α)
900 = 800 - 800 cos(α)
800 cos(α) = -100
cos(α) = -0,125
α ≈ 97°

Conclusion : Vous voyez le but sous un angle d'environ 97°. C'est plus qu'un angle droit ! Vous avez une bonne perspective pour tirer.

Exemple 3 : Accrocher un tableau parfaitement 🖼️

Situation : Vous voulez accrocher un tableau avec deux fils de 40 cm chacun. Les crochets sont espacés de 50 cm sur le mur.

Question : Quel angle forment les deux fils au-dessus du tableau ?

Solution :

Triangle formé par les deux fils et la distance entre crochets

• b = c = 40 cm (les fils)
• a = 50 cm (distance entre crochets)

a² = b² + c² - 2bc cos(α)
2500 = 1600 + 1600 - 2(40)(40) cos(α)
2500 = 3200 - 3200 cos(α)
3200 cos(α) = 700
cos(α) = 0,219
α ≈ 77°

Conclusion : Les fils forment un angle d'environ 77° au sommet. C'est un angle assez ouvert, le tableau sera bien stable !

Exemple 4 : Randonner sans se perdre 🥾

Situation : Vous partez d'un refuge et marchez 5 km vers le nord-est (45° par rapport au nord). Puis vous tournez et marchez 3 km vers le nord-ouest (135° par rapport à votre direction initiale).

Question : À quelle distance êtes-vous du refuge en ligne droite ?

Solution :

Triangle : refuge - point intermédiaire - position finale

• b = 5 km
• c = 3 km
• α = 135° (angle entre les deux directions)

a² = b² + c² - 2bc cos(135°)
a² = 25 + 9 - 2(5)(3)(-0,707)
a² = 34 + 21,21
a² = 55,21
a ≈ 7,43 km

Conclusion : Vous êtes à environ 7,4 km du refuge. Sans Al-Kashi, impossible de calculer ça !

Exemple 5 : Installer une balançoire 🎪

Situation : Vous installez une balançoire entre deux arbres espacés de 4 mètres. Chaque corde fait 3 mètres de long.

Question : Quelle est la hauteur maximale d'accrochage si les cordes forment un angle de 60° au sommet ?

Solution :

D'abord, trouvons la hauteur où se rejoignent les cordes. Triangle : arbre 1 - sommet - arbre 2

• b = c = 3 m
• α = 60°

a² = 3² + 3² - 2(3)(3)cos(60°)
a² = 9 + 9 - 18(0,5)
a² = 18 - 9 = 9
a = 3 m

Tiens ! Le triangle est équilatéral (tous les côtés égaux).

Hauteur : Dans un triangle équilatéral de côté 3, la hauteur vaut :

h = 3 × √3/2 ≈ 2,6 m

Conclusion : Les cordes se rejoignent à environ 2,6 mètres de hauteur. Parfait pour des enfants !

Exemple 6 : Couper du bois en biseau 🪵

Situation : Vous assemblez deux planches de 30 cm formant un angle de 120°. Vous devez couper une troisième planche pour fermer le triangle.

Question : Quelle longueur couper ?

Solution :

a² = 30² + 30² - 2(30)(30)cos(120°)
a² = 900 + 900 - 1800(-0,5)
a² = 1800 + 900 = 2700
a ≈ 52 cm

Conclusion : Coupez environ 52 cm. Vérification : cos(120°) = -0,5 car 120° est un angle obtus, donc le terme négatif devient positif, augmentant la distance !

Exemple 7 : Le GPS et la triangulation 📱

Situation : Votre téléphone capte deux antennes-relais :

• Antenne A : 2 km
• Antenne B : 2,5 km
• Les antennes sont espacées de 3 km

Question : Sous quel angle "voyez-vous" les deux antennes depuis votre position ?

Solution :

Triangle : vous - antenne A - antenne B

• b = 2 km
• c = 2,5 km
• a = 3 km

3² = 2² + 2,5² - 2(2)(2,5)cos(α)
9 = 4 + 6,25 - 10 cos(α)
10 cos(α) = 1,25
cos(α) = 0,125
α ≈ 83°

Conclusion : Les deux antennes sont presque perpendiculaires depuis votre position (83°). Bonne géométrie pour une localisation précise !

Exemple 8 : La force combinée (physique) 💪

Situation : Vous et votre ami tirez une voiture en panne. Vous tirez avec 300 N, votre ami avec 250 N. Vos cordes forment un angle de 40°.

Question : Quelle est la force résultante sur la voiture ?

Solution : (On utilise la loi des cosinus "à l'envers")

F² = 300² + 250² - 2(300)(250)cos(180° - 40°)
F² = 90000 + 62500 - 150000 cos(140°)
F² = 152500 - 150000(-0,766)
F² = 152500 + 114900 = 267400
F ≈ 517 N

Conclusion : Ensemble, vous exercez environ 517 N. C'est moins que 300+250=550 N parce que vous ne tirez pas exactement dans la même direction !

Exemple 9 : Le terrain de pétanque ⚪

Situation : Au cochonnet ! Votre boule est à 4 mètres du cochonnet. La boule adverse est à 3 mètres du cochonnet. Les deux boules sont séparées de 5 mètres.

Question : Quel angle forment les trajectoires depuis le cochonnet vers chaque boule ?

Solution :

5² = 4² + 3² - 2(4)(3)cos(α)
25 = 16 + 9 - 24 cos(α)
24 cos(α) = 0
cos(α) = 0
α = 90°

Conclusion : Les boules sont à angle droit depuis le cochonnet ! (Triangle rectangle 3-4-5, le fameux triplet pythagoricien)

Exemple 10 : L'étagère murale 📚

Situation : Vous installez une étagère de 80 cm. Vous la soutenez avec deux équerres de 30 cm chacune fixées aux extrémités. Le mur et l'étagère forment un angle droit.

Question : Quelle distance sépare les deux points de fixation sur le mur ?

Solution :

Chaque équerre forme un triangle avec le mur et l'étagère. Par Pythagore, la distance du point de fixation mural à l'angle droit vaut :

d² = 30² - (80/2)² = 900 - 1600... ❌ 

Erreur ! 30 cm est trop court pour une étagère de 80 cm !

Reformulons : Étagère de 60 cm, équerres de 40 cm.

Supposons que les équerres font un angle de 30° avec la verticale.

Distance horizontale de chaque équerre : 40 × sin(30°) = 20 cm

Distance entre fixations : 60 + 2(20) = 100 cm

Avec Al-Kashi pour vérifier : Triangle formé (extrémité étagère - fixation - coin mur)

40² = 30² + d² - 2(30)(d)cos(90°)
1600 = 900 + d²
d ≈ 26,5 cm du coin

Conclusion : La géométrie de l'installation est plus complexe qu'il n'y paraît ! Al-Kashi vous aide à tout calculer précisément.

🎓 Méthode générale pour résoudre vos problèmes

Étape 1 : Identifiez votre triangle

• Quels sont les trois points ?
• Quelles distances connaissez-vous ?
• Quel angle connaissez-vous ?

Étape 2 : Nommez les éléments

• a = côté opposé à l'angle α
• b et c = côtés adjacents à l'angle α
• α = l'angle entre b et c

Étape 3 : Appliquez la formule

a² = b² + c² - 2bc cos(α)

Étape 4 : Résolvez

• Si vous cherchez un côté → calculez directement
• Si vous cherchez un angle → isolez cos(α) puis utilisez arccos

Cas particuliers à reconnaître 🎯

Si α = 90° : cos(90°) = 0

→ Retour à Pythagore : a² = b² + c²

Si α = 60° : cos(60°) = 0,5

→ a² = b² + c² - bc

Si α = 120° : cos(120°) = -0,5

→ a² = b² + c² + bc

Si b = c (triangle isocèle)

→ a² = 2b²(1 - cos α)

💡 Astuces pratiques

Vérification rapide

• Si α < 90° : a doit être < √(b² + c²)
• Si α = 90° : a doit être = √(b² + c²)
• Si α > 90° : a doit être > √(b² + c²)

Valeurs de cosinus à retenir

Quand utiliser Al-Kashi ?

• ✅ Vous connaissez deux côtés + l'angle entre eux → calculez le troisième côté
• ✅ Vous connaissez les trois côtés → calculez n'importe quel angle
• ❌ Vous connaissez un côté + deux angles → utilisez plutôt la loi des sinus

🎯 Mini-quiz pour s'entraîner

Question 1 : Deux routes se séparent avec un angle de 45°. Vous roulez 10 km sur l'une, votre ami 10 km sur l'autre. Distance finale entre vous ?

a² = 10² + 10² - 2(10)(10)cos(45°)
a² = 200 - 200(0,707) = 200 - 141,4 = 58,6
a ≈ 7,65 km

Question 2 : Triangle avec côtés 5, 7, 8. Quel est l'angle opposé au côté de 8 ?

8² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(α)
64 = 25 + 49 - 70 cos(α)
70 cos(α) = 10
cos(α) = 0,143
α ≈ 82°

Question 3 : Est-ce qu'un triangle de côtés 3, 4, 6 existe ?

6² = 3² + 4² - 2(3)(4)cos(α)
36 = 9 + 16 - 24 cos(α)
24 cos(α) = -11
cos(α) ≈ -0,458
α ≈ 117°

Exemple 11 : La caméra de surveillance 📹

Situation : Vous installez une caméra de surveillance au coin d'un bâtiment. Elle doit surveiller deux portes : une à 15 mètres au nord, l'autre à 12 mètres à l'est. Les portes sont séparées de 19 mètres.

Question : Quel angle de vue minimal doit avoir la caméra pour couvrir les deux portes ?

Solution :

Triangle : caméra - porte nord - porte est

• b = 15 m (distance porte nord)
• c = 12 m (distance porte est)
• a = 19 m (distance entre portes)

19² = 15² + 12² - 2(15)(12)cos(α)
361 = 225 + 144 - 360 cos(α)
360 cos(α) = 8
cos(α) ≈ 0,022
α ≈ 89°

Conclusion : La caméra doit avoir un angle de vue d'au moins 89° (presque un angle droit). Prenez une caméra grand-angle avec au moins 100° de champ de vision pour avoir de la marge !

Exemple 12 : Le drone et la livraison 🚁

Situation : Un drone livre des colis. Il part de l'entrepôt, vole 800 mètres vers un premier client, puis 600 mètres vers un second client. L'angle entre les deux trajets est de 110°.

Question : Quelle distance doit parcourir le drone pour rentrer directement à l'entrepôt ?

Solution :

Triangle : entrepôt - client 1 - client 2

• b = 800 m
• c = 600 m
• α = 110°

a² = 800² + 600² - 2(800)(600)cos(110°)
a² = 640000 + 360000 - 960000(-0,342)
a² = 1000000 + 328320
a² = 1328320
a ≈ 1153 m

Conclusion : Le drone doit voler environ 1153 mètres pour rentrer. Total du circuit : 800 + 600 + 1153 = 2553 m. Sans Al-Kashi, impossible de calculer l'autonomie nécessaire !

Bonus économie : Si le drone était revenu après chaque livraison, il aurait parcouru 800 + 800 + 600 + 600 = 2800 m. Le circuit optimisé économise 247 mètres, soit ~9% de batterie !

Exemple 13 : L'échelle contre le mur incliné 🪜

Situation : Vous devez monter sur un toit en pente. L'échelle fait 5 mètres, le mur vertical 3,5 mètres. Mais le toit dépasse de 1,2 mètre du mur avec une pente de 30°.

Question : L'échelle atteint-elle le bord du toit ?

Solution :

D'abord, calculons la distance entre le pied de l'échelle et le point où on veut arriver sur le toit.

Position du bord du toit :

• Hauteur : 3,5 m (haut du mur)
• Décalage horizontal : 1,2 m
• L'échelle fait un angle avec le sol, disons 70°

Triangle : pied échelle - haut du mur - bord du toit

• Montée verticale : 3,5 m
• Avancée horizontale du toit : 1,2 m
• Angle du toit : 30° par rapport à l'horizontale

Distance du pied au bord : On utilise Pythagore d'abord

d² = 3,5² + 1,2² = 12,25 + 1,44 = 13,69
d ≈ 3,7 m

Maintenant, l'échelle de 5 m posée avec un angle β par rapport au sol doit atteindre ce point à 3,7 m de distance et 3,5 m de haut.

Vérification : Si l'échelle touche le sol à 2 m du mur :

5² = 3,5² + 2² - 2(3,5)(2)cos(90°)
25 = 12,25 + 4 + 0 = 16,25 ❌

Il faut la poser à environ 3,5 m du mur :

5² = 3,5² + 3,5² = 24,5
√24,5 ≈ 4,95 m ≈ 5 m ✓

Conclusion : Avec une échelle de 5 m, vous pouvez atteindre le haut du mur de 3,5 m en la posant à environ 3,5 m du mur (angle de 45°). Pour atteindre le bord du toit qui dépasse, il faut une échelle plus longue ou ajuster la position !

Exemple 14 : Le jardinage et l'arrosage 💦

Situation : Vous installez un système d'arrosage rotatif au centre de votre pelouse rectangulaire de 12 m × 8 m. L'arroseur a une portée de 7 mètres.

Question : Les quatre coins de la pelouse sont-ils arrosés ?

Solution :

Distance du centre aux coins (demi-diagonale) :

d² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
d ≈ 7,21 m

Problème : 7,21 m > 7 m → Les coins ne sont pas arrosés !

Question bonus : Si vous décalez l'arroseur de 2 m vers un coin, quelle surface totale est arrosée ?

Triangle : arroseur - coin proche - coin éloigné

Nouveau centre décalé : à 4 m d'un coin proche, calculons la distance au coin le plus éloigné.

Position décalée de 2 m sur l'axe longitudinal :

• Distance au coin proche : √(2² + 4²) = √20 ≈ 4,47 m ✓
• Distance au coin éloigné : √(10² + 4²) = √116 ≈ 10,77 m ❌

Conclusion : Même décalé, un seul arroseur ne suffit pas. Il faut soit un arroseur de portée 8 m minimum au centre, soit deux arroseurs de 5 m chacun placés stratégiquement !

Exemple 15 : Le billard et l'angle de réflexion 🎱

Situation : Au billard, la bille blanche est à 40 cm de la bande latérale et à 80 cm de la bille rouge. La bille rouge est à 30 cm de la bande. Vous voulez toucher la rouge par réflexion sur la bande.

Question : À quelle distance de la rouge devez-vous viser sur la bande ?

Solution :

Par symétrie, on crée le "reflet" de la bille blanche de l'autre côté de la bande.

Distance bille blanche-reflet à la bande : 40 cm de chaque côté = 80 cm de séparation

Distance horizontale entre les billes : disons 50 cm

Triangle : bille blanche - point d'impact - bille rouge

Si la bille rouge est à 30 cm de la bande et la blanche à 40 cm, avec 80 cm de distance totale entre elles :

Par Pythagore, distance horizontale le long de la bande :

80² = 10² + d²
6400 = 100 + d²
d ≈ 79,4 cm

Avec Al-Kashi pour vérifier l'angle d'impact (angle entre trajectoire et bande) :

80² = 40² + x² - 2(40)(x)cos(θ)

où x est la distance au point d'impact sur la bande.

Conclusion pratique : Visez la bande à environ 55-60 cm de votre position sur la longueur de table. L'angle d'incidence sera égal à l'angle de réflexion (loi de Descartes optique, qui s'applique aussi aux billes !).

Exemple 16 : La parabole satellite 📡

Situation : Vous installez une parabole satellite orientable. Trois satellites sont visibles :

• Satellite A : élévation 35°, distance angulaire 0°
• Satellite B : élévation 42°, distance angulaire 25°
• Satellite C : élévation 28°, distance angulaire 40°

Question : Quel est l'angle de rotation nécessaire pour passer du satellite A au satellite C ?

Solution :

On travaille en géométrie sphérique simplifiée. Les "côtés" sont des angles.

Triangle sphérique : position actuelle - satellite A - satellite C

• Différence d'élévation : 35° - 28° = 7°
• Différence azimutale : 40°

L'angle de rotation α nécessaire (en approximation plane pour petits angles) :

α² ≈ 7² + 40² = 49 + 1600 = 1649
α ≈ 40,6°

Avec Al-Kashi exact (en considérant la géométrie sphérique) :

Les satellites sont sur une sphère céleste. L'angle entre deux directions est donné par :

cos(α) = cos(Δél)cos(Δaz) 
       ≈ cos(7°)cos(40°)
       ≈ 0,993 × 0,766 ≈ 0,761
α ≈ 40,4°

Conclusion : Vous devez pivoter la parabole d'environ 40° pour passer d'un satellite à l'autre. La géométrie sphérique utilise les mêmes principes qu'Al-Kashi !

🎯 Récapitulatif des 16 exemples

Chaque exemple montre que la loi des cosinus n'est pas qu'une formule abstraite, mais un outil pratique du quotidien !

D'après le post de François Giltaire - Développé pour comprendre la profondeur historique et conceptuelle de la loi des cosinus

https://www.linkedin.com/in/fgiltaire/

Son post précis : https://www.linkedin.com/posts/fgiltaire_au-vi%E1%B5%89-si%C3%A8cle-av-j-c-pythagore-ne-parle-activity-7397982061870911488-RjWD?utm_source=share&utm_medium=member_desktop&rcm=ACoAAC-2xsQBmWa5-8_ixEkCDEgAZUQT8AGR2tk